Родился 2 октября 1962 года в селе Кэрпинень, Хынчештского района, Республики Молдова. Любовь к музыке у Константина Московича с самого детства, впитал он ее в кругу семьи, где все с удовольствием пели и играли на инструментах. Его мама была учительницей, отец – водителем. Его отец играл на гармони, поощрял стремление сына, учится музыке, купив ему аккордеон, на котором Константин научился играть самостоятельно, не зная нот, также отец, разрешал сыну играть на свадьбах и сельских праздниках, дав, таким образом, возможность заработать первые деньги. Когда в селе открыли музыкальную школу, К. Московичу было 13 лет, его не хотели принимать из-за возраста. Но ему посчастливилось встретить замечательного музыканта Василия Бынзарь, который предложил ему единственно возможный вариант – учиться играть на нае, и тогда его будут учить и игре на аккордеоне, на что юный музыкант с радостью согласился. На его творческом пути встретился - Василий Коваль (декан факультета народных инструментов института искусств им. Гавриила Музическу), который после прослушивания посоветовал ему поступать в институт искусств. А самое интересное, что К. Москович согласился поступать лишь потому, что вступительные экзамены в мединститут проходили в августе, а в институте искусств - в июле. В его же группу сдавал экзамены и Николай Ботгрос, а также много других талантливых людей, за плечами которых были музыкальные училища и опыт. Им всем было за 20, а К. Московичу было всего 16 лет, а закончил он музыкальную школу за 2 года (вместо 4) и он поступил. Руководителем кафедры народных инструментов был Василий Крэчун, а его учителем по наю стал известный исполнитель Василий Йову.

В 1984 году Юрий Садовник пригласил его в свою группу «Легенда». Именно Юрий Садовник стал первым композитором, который написал первую композицию для ная специально для К. Московича. Она называлась «Странник» - эта композиция проложила путь к его собственному стилю.

С 1989 году по приглашению другого популярного композитора Анатолия Кирияка стал солистом в его ансамбле эстрадной музыки. А в перестроечные годы, когда все стало рушиться в 1990 году, К. Москович подписывает контракт на 5 лет и уезжает в город Брашов, Румынии с семьей, и становится арт-директором большого туристического комплекса. Что дало ему возможность изучить менеджмент, стать не только музыкантом, но и продюсером.

В 1995 году он возвращается в Молдову и становится солистом группы «Фаг» (до 1997 года).

С 1997 года по настоящее время Константин Москович – солист Национальной Филармонии. А в 2005 году он организовал Фестиваль эстрадной музыки «Песни мира» в Комрате, а c 2006 года фестиваль проходит в Кишиневе.

Чтобы сделать молдавский най узнаваемым и любимым инструментом везде в мире стал исполнять разную этническую музыку, такой своеобразный проект популяризации молдавского ная, через музыку других народов. Константин Москович исполняет турецкие, македонские, русские, белорусские, азербайджанские произведения в свойственной ему манере. Сейчас работает над проектом балканской музыки, а также над антологией еврейской музыки.

За годы музыкальной карьеры гастролировал по разным странам мира: Японии, Мозамбику (1988), Румынии (1990), Чехословакии, Германии, Польше, Венгрии (1991), Франции, Германии, Египту (1993), Израилю, Ливану (1994), Греции, Турции, Италии, Испании (1995), Монте-Карло (1998), Белоруссии 1999, 2000, США (2001) и т. д.

Константин Москович принял участие в музыкальных фестивалях в Туркменистане, Латвии, Белоруссии.

Награды и титулы:
Первая премия на Международном фестивале в Ашхабаде, Туркмения, 1981;
Вторая премия на музыкальном фестивале в Риге, Латвия, 1982;
Специальная премия на фестивале «Память» в Бресте, Белоруссия, 1988;
Был удостоен звания «Заслуженный деятель искусств», 2000;
Получил медаль «Meritul civic», 2004;
Почётное звание «Doctor honoris cauza», 2005.